ecuaciones matemáticas que representan las primitivas de graficación (puntos, líneas, círculos, elipses, parábolas, hipérbolas, curvas, entre otras).

 

SE CONOCE COMO PRIMITIVAS GEOMÉTRICAS A LOS ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Y SE IDENTIFICAN ATREVES DE SUS VÉRTICES.

Tarjetas actuales comandos y ejecución por hardware. PUNTO Dibujo de un píxel, cálculo de la posición de memoria. Cálculo del bit, máscara, operaciones AND, OR y NOT Modos CGA, EGA, VGA, SVGA, etc… Optimización de operaciones. Una sucesión continua e indefinida de puntos en la sola dimensión de la longitud dependiendo de la forma de la linea así se define como recta,circular etc...

 

LINEAS Puntos Se definen por su posición y color. Función explícita de la línea: y=mx+B Algoritmo Básico Incremental. Algoritmo basado en DDA (Digital differential Analizer). Si se emplea enteros problemas de continuidad. Si se emplea coma flotante y redondeos, poco eficiente.

•Hacemos el análisis para rectas de 45º o pendiente igual a uno (m=1), y luego lo extendemos a cualquier pendiente LINEAS Algoritmo del punto medio (Bresenham) Se basa en el empleo de la función implícita: F(x,y)=ax+by+c=0

•Si F(x,y)=0el punto está en la recta

•Si F(x,y)>0el punto está encima de la recta

•Si F(x,y)<0el punto está debajo de la recta

 

CIRCULOS

Es una figura plana limitada por una linea curva, donde cada punto de la misma es igualmente equidistante del centro de la figura Un circulo es el conjunto de todos los puntos quienes EQUIDISTAN (Estar dos o más puntos o cosas a la misma), de un punto central.

•Hacemos el análisis para un octante de 0 a x=y, y hacemos simetrías de ocho puntos Circulo Algoritmo del punto medio (Bresenham) Se basa en el empleo de la función implícita:

•F(x,y)=x^2 +y^-R2=0 •Si F(x,y)=0el punto está en la curva del círculo.

•Si F(x,y)>0el punto está encima de la curva

•Si F(x,y)<0el punto está debajo de la curva

ELIPSES
Algoritmo del punto medio (Bresenham) Se basa en el empleo de la función implícita: F(X,Y)=b^2 x^2+a^2 y^2-a^2 b^2=0 Si F(x,y)=0 El punto está en la curva del círculo

•Si F(x,y)<0el punto está debajo de la curva

•Hacemos el análisis para un cuadrante (2 regiones), y hacemos simetrías de cuatro puntos

•Si F(x,y)>0 El punto está encima de la curva Primitivas Las primitivas gráficas pueden clasificarse en:

– De Salida
– De Entrada

Los objetos gráficos que se generan sobre los dispositivos de

salida están compuestos de primitivas de salida. Estas primitivas gráficas tienen atributos que son las características que afectan su apariencia. Vamos a hablar de curvas, las superficies simplemente consisten en utilizar dos parámetros.

Otro método que podemos utilizar para generar la gráfica de una curva simple consiste en aproximarla uli-h/ando una polilinea.

Basta con localizar un conjunto de puntos a lo largo del trayecto de la curva y conectardichos puntos mediante segmentos de linea recta. Cuantas más secciones lineales incluyamos en la polilinea. más suave será la apariencia de la curva. Primitivas

PARABOLAS
1. Cuando la A es positiva tiene la concavidad arriba y cuando la A es negativa, al revés. Si la A es cerola parábola es una recta.
2. La B es la pendiente de la parábola en el punto en que corta al eje de las Y.
3. La C es el punto del eje de las Y por el que pasa la parábola.

La gráfica roja es la de A(x)=Px2. La gráfica azul es la de B(x)=Qx. La gráfica verde es la de C(x)=Px2+Qx.

Moviendo el mando de la izquierda se ven parábolas de diferentes aberturas. Lo mismo que por dos puntos del plano casi siempre pasa una recta de ecuación y=Ax+B, por tres puntos casi siempre pasa una parábola de ecuación y=Ax2+Bx+C.

Los tres coeficientes A, B, C, de la fórmula Ax^2+Bx+C tiene relación con la forma o la posición de la parabola: Moviendo el mando de la derecha se ven parábolas de la misma abertura, pero que cruzan el eje de las Y con diferentes inclinaciones La aproximación Básica se basa en el uso de funciones poli nómicas.

Las rutinas para generar curvas básicas, como círculos y elipses, no están incluidas como funciones primitivas en la biblioteca OpenGL básica. Pero esta biblioteca sí que contiene funciones para dibujar spunes de Bézier, que son polinomios que se definen mediante un conjunto de puntos discreto.

Hiperbolas

Cuando el eje mayor de una hipérbola es horizontal, la ecuación de la asíntota es:

Y = + bx

A

(Y-k) = + b(x-h)

A

Cuando el eje mayor de una hipérbola es vertical, la ecuación de la asíntota es:

Y = + ax

B

(Y-k) = + a(x-h)

B

En donde:

A es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértices del eje mayor.

B es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértices del eje menor.

C es igual a la distancia del centro a cualquiera de los puntos fijos o focos.

La hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano cartesiano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es igual a una constante positiva (2a), en donde "a" puede ser mayor o menor que "b" y la posición de la hipérbola se determina dentro del plano dependiendo si dentro de la ecuación "x" o "y" es positivo. Una hipérbola parte de sus vértices abriéndose cada vez más y tendiendo hacia dos rectas llamadas asíntotas, las cuales nunca llegan a tocar. Al rectángulo que forman las asíntotas, se le llama rectángulo auxiliar, y sus lados tiene por longitud 2a y 2b. Los vértices de la hipérbola son los puntos de intersección del eje principal y el rectángulo auxiliar. Al prolongar las diagonales del rectángulo se obtienen las asíntotas; se traza cada rama de la hipérbola a través de su respectivo vértice usando las asíntotas como guías. Ecuaciones de las asíntotas.

Características

1.- La hipérbola posee una excentricidad mayor que uno, la cual se define como la distancia del centro hacia uno de los focos, dividida, la distancia del centro a uno de los vértices.

2. La longitud del eje mayor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del eje mayor.

3. La longitud del eje conjugado se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del vértice del eje menor